Функции Матьё
Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.
Уравнение Матьё
Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.
Решения уравнения Матьё
Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: [math]\displaystyle{ y(x) = \exp (\mu x) \phi (x) }[/math], где [math]\displaystyle{ \phi (x) }[/math] имеет период [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math]. При [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] эти решения являются периодическими с периодом [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math] и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: [math]\displaystyle{ \mathrm{ce}_0(x), \mathrm{ce}_1(x), \mathrm{se}_1(x), \mathrm{ce}_2(x), \mathrm{se}_2(x), ... }[/math]. Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: [math]\displaystyle{ \mathrm{ce}_{2n}(x)=\sum_k A_k \cos 2kx, \mathrm{ce}_{2n+1}(x)=\sum_k B_k \cos (2k+1)x, \mathrm{se}_{2n}(x)=\sum_k C_k \sin 2kx, \mathrm{se}_{2n+1}(x)=\sum_k D_k \sin (2k+1)x, }[/math] где величины [math]\displaystyle{ A_k, B_k, C_k, D_k }[/math] являются функциями от величин [math]\displaystyle{ a, q }[/math] в уравнении Матьё. Значения [math]\displaystyle{ A_k, B_k, C_k, D_k }[/math] можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.
См. также
Литература
- Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
- Уравнение Матье, EqWorld